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TRAITÉS ÉLÉMENTAIRES

DE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET DE

CALCUL INTÉGRAL.

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TRAITÉS ÉLÉMENTAIRES

DE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

CALCUL INTÉGRAL,

INDÉPENDANS DE TOUTES NOTIONS DE QUANTITÉS INFINITÉSIMALES ET DE LIMITES ;

Ouvrage mis à la portée des Commençans , et se trouvent plusieurs nouvelles théories et méthodes fort simplifiées d’intégrations, avec des applications utiles aux progrès des Sciences exactes ;

PAR J.-B.-E. pu BOËRGUET,,

Ancien Officier de Marine, Docteur en la Faculté des Sciences, Officier de l'Université, et Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée Impérial.

TOME SECOND.

PARIS. l’Auteur , rue St-Jacques , 121; CHEZ COURCIER, Imprimeur- Libraire pour Îles Mathématiques, quai des Augustins, 57.

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TRAITÉS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET DE CALCUL INTÉGRAL.

SUITE DE LA SECONDE PARTIE.

CALCUL INTÉGRAL.

SECTION IL.

De l'intégration des Fonctions et Equations différentielles du premier ordre à plusieurs

_ variables ; et des solutions particulières de ces Equations.

CHAPITRE 1".

De l'intégration des Fonctions différentielles du premier ordre à plusieurs variables qui sont exactes.

318. Ur idée extrêmement simple qui se présente naturellement à l’esprit, et dont cependant il me semble 2. po 4 |

ARTS

_

2 . INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS qu'on n'a pas fait usage jusqu’à présent , est que le théorème démontré à l'article 56, et qui est conna depuis long-temps, donne immédiatement l'intégrale de toute fonction différentiellè exacte et homogène du premier ordre entre un nombre quelconque de variables.

Du théorème en question traduit en règle d’inté- gration , il résulte que pour intégrer une fonction difFé- rentjelle homogène entre un nombre quelconque de variables , &/ faut vérifier si cette différentielle est exacte(art. 54), et dans le cas elle l’est, substituer aux différentielles des variables, les variables mêmes ; enfin diviser le résultat par le degré de la proposée, augmenté de l'unité , ce qui donnera l'intégrale de- mandeée.

EXEMPLE Ï. Intégrer la fonction différentielle ho- mogène (3x°+obxy—5y") dx + (bx°—6xy+3cy°) dy....(a). La règle de vérification d’exactitude enseignée à l’article (54) donne FR ee A Yi). Me —6y— ai ae AR V Ly dx donc la proposée est exacte. Cela posé, y substituant

respectivement Îles variables x et y à la place de leurs différentielles dx et dy, et divisant le résultat

par le degré 2 de la proposée +- 1 , on par 3, on aura [te)= 32° + 2bx°y —3xy* Pb t 6xy° cv “a sai A bx°y 3xy° + ke + const (*).

Re a tr mm m6 ni A GT ES

(*) M. l'abbé Marie à intéeré cette même fonction différentielle

À PLUSIEURS VARIABLES, 3 EXEMPLE II. Intégrer la formule différentielle

fSes LL ri au V/x à [MINE au ira RUE .@),

qui est homogène et du degré à.

Par le moyen des méthodes enseignées à l’article 54, on vérifiera que la différentielle proposée est exacte. Cela posé, substituant à la place des différentielles dx , dy, du et dz les intégrales respectives x , uetz; ensuite divisant le résultat par —i+Li—=—;};c *eêt- à-dire le multipliant par —2,ona

SO)=—-au x V/y+u 2 V/x—au°/y+HAru V/y —4zuV/x+ozuV/x ARTE +- const.

319. REMARQUE Î. Je ne vois de long dans la thode enseignée précédemment pour intégrer les for- mules différentielles homogènes lorsqu'elles se compo- sent de beaucoup de variables, que le calcul prépara- toire qui est commun à toutes les méthodes connues pour opérer ces intégrations , et qui sert à vérifier si la différentielle proposée est exacte (art. 54).Je serais donc d'avis , vu l'extrême simplicité de notre méthode d’inté- gration, que quelle que fût la différentielle homogène proposée, l’on commençât par l'intégrer suivant notre méthode, sans vérifier préalablement si elle est exacte, et qu'ensuite on différentiât le résultat trouvé , ce qui

dans ses Lecons élémentaires de Mathématiques , article 0938, page 384, édition de 1770 , par une méthode assez ingénieuse , mais beaucoup plus longue ei compliquée que la nôtre.

Lie

4 INTÉGRATION DES FONCT.ET ÉQUATIONS

devrait reproduire la proposée , si celle-ci était exacte. Dans le cas la différentielle proposée et celle trouvée ne seraient pas identiques, on en serait. quitte pour avoir fait un calcul, à la vérité inutile , mais beaucoup plus court que s’il avait fallu commencer par recon- naître , suivant la méthode de l'article 54, si la pro- posée était une différentielle exacte. Par exemple, dans la seconde application de l’article précédent, le | calcul que nous avons fait, plus celui de la différentia-

z _ tion de te , demandent bien moins de temps

et de mn pa la recherche des six équations de condition requises par la méthode de l'article 547, pour vérifier si une formule différentielle entre quatre variables est exacte.

320. REMARQUE II. Si le degré de la formule diffé- rentielle homogène proposée est = 1 , et si toutes les variables du dénominateur passées au numérateur par le changement des signes de leur exposant , ne donnent pas des termes différentiels de logarithmes tels que AxT'dx , alors notre méthodes ago te éga— Jement à l'intégration d'une telle formule différen- tielle; ce qui doit être , puisque le cas du degré nul pour la fonction homogène F (x, y, z....) que nous ayons considérée à l’article 56, et qui donne dans ce même cas, le degré de la différentielle = o—1 —=—:1, n’est pas exclu du théorème général démontré dans cet article. Cependant le résultat qu'on trouve en suivant la méthode précédente, laisse encore dans l'incertitude sur les vrais signes des termes, et admet quelquefois un facteur général constant qui ne doit pas être dans la vraie intégrale. Mais on rectilie ce résultat en même temps qu'on vérifie si la différentielle proposée est

À PLUSIEURS VARIABLES. 5

exacte, en diférentiant le résultat trouvé, et en exa-— minant quels doivent être les signes des termes, ainsi que le facteur constant qu'on doit supprimer, pour que la différentielle trouvée par le calcul soit identique avec la proposée. Rendons ceci plus sensible par un exemple , en nous proposant d'intégrer la formule difFé- rentielle homogène du degré 1

AM + 02° dy—0xzdy+yzdx—2y2dz Fe ra

La méthode d'intégration enseignée à l'article 318 étant appliquée à cette formule , donne

XYZ 22° y—222ÿ + Y2x —2y2° JE

#(—1+1) 2(2y2—2yz)+2(yr y)" 2(xyzty#) QG) .(b) yG—) ART ee |

Or, nous remarquerons, 1°. que le rapport des numé- J=—1

rateur et dénominateur nuls de

qui absorbent

1—1 eux-mêmes les numérateur et dénominateur du der- nier membre de l'équation (b), étant égal à l'unité (voyez la note II du Calcul différentiel }, on aura

a (æz—+ 2°) DAS NE 2°. qu'à cause que dans la première. valeur de f (a) C'équat, (b) 1, la quantité xyz 2xyz + xyz ou 2(xyz xyz) peut être écrite sous la forme de 22yz (1 —1), ou sous celle de— 2xyz (1—1), et que de même: 2yz* 2yz° peut être écrit sous la forme 2yz° (1.— 1), ou sous celle —2yz(1—1), il s'ensuit queles signes de xz.et de dans l’équa=

RO dit (Cÿià

6. INTEGRATION DES FONCT.ET ÉQUATIONS tion (c) , sont encore indéterminés , et que le résultat de notre intégration est

(2x2 2)

fa) = Ÿ pie, (OS

Pour déterminer les vrais signes qui appartiennent aux termes de cette intégrale , et en même temps pour vérifier ei la différentielle proposée est exacte , diffé rentions l'équation (d), ce qui nous donne

2[ E yrds + yzdx + 92ydz 2x2dy 22° dy]

TT TON Ne Dr 17 i Comparant cette différentielle avec la proposée, on voit d’abord qu'il faut supprimer le facteur général et constant 2 ; ensuite que xz doit être pris positif, et négatif : ainsi la vraie intégrale de la proposée (a) est

(a) =

8 FE

Si la formule différentielle qu ‘on veut intégrer était celle homogène du degré 1 4£xydx + x°dy

2yx*

4. const.

AAC)

+

la méthode appliquée directement donnerait

>

5x°y [e)

ce qui est un résultat absurde; mais si l’on avait passé les variables du dénominateur de la proposée (e) dans le numérateur, cette formule.serait devenue

2x7 dx + + y dy ;

d'où l’on voit qu’elle se réduit à deux termes qui sont des différentielles logarithmiques , et il est aisé d'en

»

À PLUSIEURS VARIABLES. d conclure que la vraie intégrale de (e) est

(2° Vy) + const.

321. En différentiant un monome Ax"y"zP,... d'un degré quelconque m + n + p + etc. , quels que soient ces exposans, on a ladifférentielle :

mAz"—1y"2P....dx + nAx"y"—'2....dy + pAx"y"2"....dz—+ etc.....(a).

Or, j'observe 1°. que cette fonction différentielle est ho- mogène ; 2°. qu'elle renferme autant de termes qu'il y a de variables ; 3°. que chaque terme renferme toutes les variables , ou que du moins si l'une des variables manque dans l’un des termes , sa différentielle s'y trouve, ce qui aura lieu si l’exposant primitif de cette variable est l'unité.

Ainsi toute fonction différentielle entre un nombre quelconque de variables qui sera exacte , et qui rem- plira ces trois conditions, pourra être intégrée com— plètement par la règle enseignée à l’article 318, et aura pour intégrale un: monome renfermant toutes ces variables.

Cela posé, étant proposé d'intégrer une fongtion différentielle hétérogène entre plusieurs variables , et exacte, on rassemblera entre eux tous les termes qui auront les tro's conditions requises ci-dessus pour les différentielles des monomes , et tous ces rassem- blemens étant faits de justesse, puisque la différen- tielle proposée est supposée exacte, on les intégrera chacun particulièrement , en se servant de la méthode de l’article 318. La somme de toutes ces intégrales sera la vraie intégrale de la proposce.

?

8 INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS _ EXEMPLE. Intégrer la fonction

vydz -_xV/ydz OXZAX A es = Mie 5 V2 7e LOÛRR

_ Wzdy zdy At 2vy FER

Le premier terme renferme les trois variables x, y, z, et est du degré + : conséquemment je cherche deux termes parmi les six Écrit de la fonction proposée, qui soient du même degré que le premier, dont l’un soit multiplié par dx, l'autre par dz , et qui contiennent les trois variables. Je trouve que les cinquième et der- nier termes satisfont à ces conditions ; je forme donc le premier rassemblement

xdy adzf/y , dxV/y RAS UN Le nt vo Y F dont je trouve , par le moyen de la méthode enseignée

à l'article 318, que l'intégrale est

xVy _2æVy 1 axÿ/y _ xÿ/y

ne er Ten Men NU

Le second terme de la proposée étant du degré 2, et contenant que les deux variables x et z, il est aisé de voir. que son conjugué est le quatrième terme x°dz : ainsi le second rassemblement est

2xzdx + x°dz, dont l'intégrale est Sx2-Hrxz ou x°z.....(b).

. Enfin les deux termes restans qui sont les troisième et sixième , ayant les trois conditions requises , j'ai le

À PLUSIEURS VARIABLES, 9 troisième rassemblement

prit à fu dyyz

- 32° 2vy :

dont l'intégrale est

3 La 3 5 VzVy—25iVzVy —VzVy....(e). Rassemblant les intégrales particulières (a), (b}) et

(c), il vient pour l'intégrale totale de la fonction diffé- rentielle proposée , la quantité

3 LE + x°z Vz Vy + const.

322. Mais lorsque la fraction différentielle qu’on veut intégrer a un dénominateur multinome , Ja sépara- tion indiquée dans l’article précédent pour former des assemblages intégrables par la méthode de l’article 318, ne peut s’exécuter directement, et il faut alors recourir

à l’artifice suivant.

On fera le dénominateur de la fonction différen- tielle proposée, égal à une seule variable qui ne se trouve pas dans cette fonction ;on déduira de légalité qu'on a formée , la valeur de l’une des anciennes variables que l'on substituera dans la proposée , ce qui transformera cette dernière en une fonction diffe- rentielle dont le nombre des variables sera le même dans le numérateur , mais dont Le dénominateur ne

sera plus qu'un monome à une seule variable ; ainsi”

on rentrera dans le cas précédent, et lorsqu'on aura intégré la transformée, on y substituera la valeur de la nouvelle variable introduite en fonction des an- ciennes, ce qui donnera la vraie intégrale de la pro- posée.

10 INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS EXEMPLE I. Intégrer

xdy xdz + zdx ydx Een À ro D

Faisons x —y +27 Eé, d'où

Y=x+2—-E, et dy = dx +dz— di.

Substituant ces valeurs dans la proposée (a) , on a la Edx xd£

transformée RE ETRSE qui, étant homogène du de- gré —1,a pour intégrale Ex (1 —1 54 AA) ou, + (art. 320): 6,01 —11)) 5

remettant dans cette intégrale la valeur de £, on aura

æ = const. fa) = Hype ue

EXEMPLE II. trs er

dx + x°dy + dy + y'dx

SE LR TE SE M SRE 0 es EN 7)

(y. 1)"

Faisant £—xy—.1, d'où

Na 0,

.. dx , Y=——, et DUREE MR LES

x? #

ensuite substituant ces valeurs dans la proposée (b) , on a la transformée

dx xdë = | FU ee [te

dont l or est

sit aie = (art: 12122

E

4

A PLUSIEURS VARIABLES, 11

donc l'intégrale de la proposée est, toutes réductions faites,

T+Yy

Ty 1

323. Voici une autre méthode pour intégrer les

fonctions différentielles du premier ordre à plusieurs variables et exactes , qui pose sur un principe très- simple , et dont nous étendrons l'usage jusqu'aux diffé- rentielles à plusieurs variables qui renferment des quan- tités transcendantes de variables.

+ const.

Nous avons démontré à l'article 19, que représen- tant par U une fonction quelconque des JArADIeS T,Y,%..... On avait

dU = deU + d'U + ŒU + etc. [ équat. (27)];

donc indiquant par f7, fY, f*. .... les intégrales particulières d'une fonction différentielle de plusieurs variables x , y, z ...., en n’y considérant comme variable que celle placée comme ‘exposant du signe d'intégration f, on aura pour le cas U est un po- lynome dont chaque terme est affecté de toutes les variables æ, ÿ.,2...., et toujours pour le cas de U monome, la suite d’égalités

U= fdU = fHPU f'd'U , etc.....(a),

ou représentant , comme à l’article 20, par f”"(U), PDA PALD ETES les coefliciens de dx@dy, dz..... dans les différentielles partielles effectuées , on aura la

suité d’égalités («) qui deviendra : |

U=/f*f=(U)dx=f'f}(U)dy=f"f" (U)dz, étc.,.(281); donc, généralement, pour intégrer une fonction difFé- rentielle hétérogène du premier ordre entre un nombre

12 INTÉGRATION DES FONCT.. ET ÉQUATIONS

quelconque de variables, 27 faut rassembler tous les termes qui renferment chacun les mêmes vartables , et gui sont successivement multipliés par la différentielle de l’une de ces variables, en regardant comme termes qui renferment toutes les var LUE ceux l’une d'elles manquerait , mais qui serait müultipliée par la différen- tielle de la variable absente. On formera autant de pareils rassemblemens qu’on le pourra, et chacun d'eux sera, st la proposée est exacte, la différentielle d'un monome ou d'un polynome dont chaque terme est affecté . de toutes les variables qui se trouvent dans le rassem- blement différentiel correspondant ; ensuite on intégrera dans chaque rassemblement les seuls termes affectés d'une méme différentielle de variable par rapport à cette seule. variable ; et la somme de toutes ces inté- grales particulières sera: l'intégrale totale demandee.

EXEMPLE I. Jntégrer

à ya, Fes dx + avr + y + oxydy. (a).

Tous lee termes de cette fonction différentielle ren- fermant toutes les variables ‘x .et y forment un -seul rassemblement, et son intégrale, si elle est exacte, ne peut être qu'un polynome dot chaque terme est affecté des deux variables x et y. Donc intégrant par- ticulièrement par rapport à l’une des deux variables ; pe CFREr 5 celle æ,ona Us

fc) =f Ça ee D a

En intéant particulièrement par: rapport à y, on à | | |

: \

| À PLUSIEURS VARIABLES. 13 fa) me fs CE rs) = VyVx+xy.…..(c). | (rs

Ces deux résultats étant identiques, nous prouvent que la proposée est exacte , et que nous ayons trouvé sa vraie intégrale.

EXEMPLE Il. Intégrer

1 bpydz— . bdy Y/y—+apzdx+adx Vy—bpzdy— à axy dy—apxdz (d) nn …. / .

h QE DZ) Le | Faisons 4/y +- pz —Ë, d'où > vy ati de de bis

je p_ 2PVYy Substituant ces valeurs dans la proposée (d), réduisant et faisant les rassemblemens convenables prescrits dans la règle précédente, parce que les trois variables x,y et £ ne se trouvent pas réunies dans chaque

terme de la transformée, on aura

by __ bb | radz __ axdi] ee lt Æ ... (@-

Prenant l'intégrale particulière du premier rassemble- ment par rapport à y, et l'intégrale particulière du second par rapport à x, on aura

A MAS RAI RC : f@= fe ++ = ++... 0.

Les intégrales particulières des premier et second ras- eemblemens par rapport à £ auraient donné le même résultat (f) ; donc on a réellement

ax by

f{) =

+ const. ;

14 INTÉGRATION DES FONCT, ET ÉQUATIONS

et substituant dans cette dernière équation la valeur de £, on a pour la vraie intégrale de la proposée (d) , la formule

Dr ñ ; + const.

324. REMARQUE. Il peut arriver que dans les rassem- blemens prescrits suivant la règle de l’article précédent, il y ait des termes dont l'intégrale particulière se trouve fort aisément, et d’autres dont l'intégrale particulière soit fort difficile à trouver ; il est donc alors à propos, lorsqu'on a pris dans chaque rassemblement D'ÉTÉ particulière la plus aisée à obtenir, de vérifier l’exac- titude de la proposée, et par conséquent la réalité de l'intégrale totale trouvée, non en cherchant l'identité des intégrales particulières de chaque terme dans cha- cun des rassemblemens , ce qui serait trop difficile d'après la supposition précédente , mais en différen- tiant le résultat trouvé, et en examinant si la formule différentielle obtenue par le calcul, est identique avec la proposée. Par exemple, si PS dvait à intégrer la fonction différentielle

2dy y (3x°— a) dx | ) 2x ax +bY (a), il faudrait prendre l'intégrale particulière du terme À 10e) COMORES VCxÿ— ax + b)”

que l’on trouve sans peine être

A re ; et au lieu de prendre l'intégrale HA …__ +: —ÿy(3x°— a) dx . particulière du second terme PT DEA AA à VU SELLE

pour vérifier si le résultat qu’on obtiendrait serait identique avec celui obtenu par l'intégration particu-

A PLUSIEURS VARIABLES. 15

lière du premier terme, et par conséquent si ce sultat est l'intégrale demandée, il est plus simple de

ifférentier la première intégrale —— 7 : différentier la p 8 DORE ESS et de voir si‘sa différentielle est identique avec celle

proposée (a). C’est ce qu'on trouve être yrai dans l’exemple‘actuel ; donc, etc.

325. En différentiant un monome variable , tel que

ayS. si (lx)", il est clair que si dans le terme on différentie partiellement par rapport à /x, on met la

dx : ; nié valeur de dx, ce terme sera d’un degré moindre TZ

d'une unité que les autres, lesquels sont homogènes entre eux, en considérant la variable logarithmique 2x comme les variables algébriques y, z...; donc d’après cette remarque et la méthode enseignée à l’article 323, il sera très-aisé d'intégrer les différentielles exactes il entre des logarithmes de variables telles que /x ; car mettant dans le terme /x est d’un degré moindre d'une unité, la quantité xdlx à la place de sa valeur dx, on rétablira l'homogénéité nécessaire aux termes de chacun des rassemblemens qu’on doit former pour l'exécution de la règle prescrite à l’article 323.

Rendons ceci plus sensible par l'exemple suivant. Intégrer la fonction différentielle et transcendante 8y* (x) dx 2 (/x)*ydy 2dy ydz s zx) y) LE l 2y (/x) dy zyd£ ZE HUE £ (EX ….. (a) . à

Je vois que des trois termes qui sont chacun fonc- tions des-seules variables x , y, ou de leurs logarithmes,

\

16 NTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS

savoir , les premier, second et cinquième termes ; le premier a la variable /x élevée à une puissance moindre d’une unité que les deux autres, et le dernier a l’ex- posant 3 de /y moindre dns unité que celui 2 de la même variable dans les deux premiers termes. Je substitue donc xdlx à dx dans le premier terme,

et ydly à dy dans le troisième des trois termes en question. De même l’exposant 2 de dans le der- nier terme du polynome différentiel (a), étant moindre d’une unitè que celui 1 de la même quantité dans les troisième et quatrième termes qui, comme le der- nier, sont fonctions des seules variables z, y et £; je substitue à la place de sa valeur EdI£ ; ces substi- tutions étant faites, et opérant les rassemblemens prescrits par la règle de l’article 323, j'ai

E (x) dlx " 2(/x)*ydy ._ sy° DRE (y) (y) . y zdy ydz zydië one ee GO

_ dont l'intégrale est

Ya(Ix)ydy _ f'zdy y 41 er PAT EAU DA SE

Il est aisé de vérifier, d’après une des méthodes ensei- gnées précédemment , que cette dernière quantité est la vraie intégrale de la formule différentielle pro- posée (a).

826. Il peut arriver que dans un polynome diffe- rentiel dont une partie des termes est affectée du lo- garithme d'une variable, et dont l’autre partie est algébrique, il y ait dans ces derniers termes quelqu'un d'eux qui doive s’assembler avec de ceux transcendans,

puisque

À PLUSIEURS VARIABLES. 17 puisque /x étant élevé à la seule première puissance,

sa différentielle ne laisse plus aucune trace de x

transcendance ; mais il est aisé , lorsqu'on a un pet l'usage du calcul, de trouver parmi les termes différen-. tiels algébriques , ceux qui, si la proposée est exacte, doivent se grouper avec des transcendans. Par exemple, soit proposé d'intégrer

zdylx + ydxix + xdz + ydx+ zdx......(a).

Il est aisé de voir que les troisième et dernier termes de ce polynome différentiel ne peuvent être assemblés avec les deux premiers, puisqu'ils sont affectés de la variable z qui n’est pas dans les deux premiers termes ; donc le terme cherché renfermant la différentielle de 1x, ne peut être que l’avant-dernier terme ydx de (a) : en effet , y substituant æd/x à dx, et groupant à l'ordinaire les termes de la proposée (a), elle devient

Cxdylx + ydxlx + yxdlx | + xds + zdx], et son intégrale est = f'xlxdy Æ Fra == xylx + xz + const.

827. Nous n'avons précédemment considéré parmi Jes différentielles exactes qui renferrhent, des transcen- dantes logarithmiques , que celles. se trouvent les puissances quelconques des logarithiiques d'une seule variable : examinons maintenant tous les autres Cas , lesquels peuvent être réduits aux suivans :

18 INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS

dE pr = PP OITE 4 on (xryry"— dy... (a):

y" Fr __ _npy"dz MS d Po AS op in OF

dy" C2 Gran = PI EPA EE

ngy" [1 ie dz

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À PLUSIEURS VARIABLES. iq Îl est aisé de voir, 1°. qu'on rendra homogène chacuné des deux équations (a) et (b), en substituant à dx sa

xd (/xP valeur A) 2°, Que quand on aura, comme dans les

équations (c) et (d), des termes affectés de logarithmes de produits de plusieurs variables x, y..... élevées à des puissances quelconques p , q..... , On aura autant de termes dans lesquels la puissance du logarithme sera moindre d’une unité que la plus haute puissance, qu’il ÿ aura de variables dans le produit affecté de la lettre caractéristique /, et qu’ainsi on rendra ces termes homogènes , en substituant respectivement à dx, dz... dans les termes affectés de ces différentielles, leurs 4). 55 COtAr RES) zdl (xP , z1.. cd etc, 3. Que

LE]

s’il se trouve dans une fonction différentielle exacte qu'on vent intégrer, des logarithmes de polynomes dont tous les termes sont variables comme dans les.équa- tions (e) et (f), ou partie variables, partie constans comme dans les équations (g) et (h), il faut grouper les semblables ; et lorsqu'on voudra ou qu'on sera obligé d'intégrer partiellement par rapport au loga- tithme du polynome variable , il faudra faire ce poly- nome affecté de la lettre caractéristique /, égal à une variable quelconque étrangère à la fonction donnée, ce qui réduira à un seul terme variable, tous les termes variables du polynome; et alors il sera fort aisé de prendre l'intégrale partielle du logarithme du polÿnome fransformé par rapport à ce logarithme d’une seule

variable.

Rendons ceci plus sensible par un exemple, en nous proposant d'intégrer la fonction différentielle

20 INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS

dx (1) Gsuxdx{ {(x° +u)}(2) F4 ÿ/xdy (3)

2YV x x? Ru ÿ°

us (6) , my" "dy(6}

“+s C/(x+u) du (4) + ——— LNTE ZT M RUE) A a 2e AS D Mme

7, (ANT (lxP}r+t £ [ L (xP21 mere de p (n+1) y'lzdx (10) LEA 3su [{(x? + u)}du (1r) va (x jee x Lu 6.

ne LE Le bei nine u[Z(xt+ uw) Vds (r4)

nqy"dz (15) (y, |

7 z{l(æa)e de 8 ee

dans laquelle les indices (1), (2).... mArquent le rang des termes elles se trouvent.

Pour faire les rassemblemens prescrits par la règle de l’article 323, nous commencerons par ceux des termes algébriques et qui n'offrent aucune diflicuité, savoir, le terme (1) avec celui (3), ensuitelestermes (5}, (12) et (13). Passant aux termes transcendans , nous ob- serverons que le terme (2) doit avoir ses conjugués dans ceux (4), (11) et (14); cependant il paraît y avoir dans ce rassemblement un terme de trop, puisqu'il n’y a, à proprement dire, que trois sortes de variables à y considérer, savoir, u ,set {/(x’—+u) ; maisil est aisé de voir , après un peu de réflexion , que les second et onzième termes se réduisent à un seul. En effet,

PA UN À QE re G)+ Q5) = peer Coxdr + du)

RL nm On NE A TU CU) à

Wu

À PLUSIEURS VARIABLES. 21

ainsi l'assemblage des quatre termes (2), (4), (11)

et (14) ne donne qu'un trinome homogène du troi-

sième degré qui satisfait aux conditions exigées par la règle de l'article 323.

Le terme (6) a évidemment ses conjugués dans Îles

termes (9) et (15), et le trinome (6) (9) (15)

peut se rameñer à un simple binome entre deux va- riables y et /(x?z1). En ‘effet,

2 Ling fpdc LE), QHGN= TT ( x Î z » Mais ce dernier facteur binome peut s'écrire sous la forme _

pxP—'dx qg217dz 21d,xP4-xPd .21

ee

xP 21. XIZ1 d (xPz1) Hinbpes

a ee ? -.

ES 7 ASE (xPz1 ) ;

donc s ny" di (xPzt) (9) + Q5)— COPIES

ainsi l’assemblage de ce terme et de celui (6) donne un binome homogène du degré m— n— 1 entre les deux variables y et 7 (xPz?).

Enfin, les conjugués du terme (7) sont ceux (8) et (10), et il est aisé de voir que l’on rendra le trinome (10) (7) (8) homogène du degré m —n 1 entre les trois variables y, /z et lxP, en mettant dans le terme (10) la quantité d./x? à la place de son égale

dx . Day , et substituant dans le terme (7) la différentielle

d,l3 à la place de son égale ©. On pourra dono

29 INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS rassembler la fonction différentielle proposée (2) ainsi qu'il suit: GG) O)+(2)-G 5) HC)+ A+ G1)+G4)] HL(6)—(9)—(5)1+LG0)—(7)—(8)]....- (); et intégrant partiellement dans chacun de ces rassem- blemens, un seul terme à volonté, et par conséquent le plus aisé à intégrer , on aura ,‘si la fonction diffé- rentielle proposée (1) est exacte,

à / ZT ar / fo=- f _- +f DE + pi 140) Y'sdu DER JS EE L'Z Y Z

2 4"lz + LG —u) | Se ——© C j ns NULS + const.

+

Si nous avions voulu prendre l'intégrale partielle du troisième assemblage [ form. (k)], par rapport à Î(x°+u), nous aurions fait,

\ he dt du x tu—t, d'où td = ——— ;,

et mettant ces valeurs dans les second et onzième termes de la proposée, ils se seraient réduits au seul

terme He ou Bus (lt)*d.lt, dont l'intégrale

partielle f# est

us (H)=usT l(x Hu}, comme nous l'avons déjà trouvée par l'intégration par- tielle par rapport à w du quatrième terme de la pro- posée (z).

328. REMARQUE I. Il nous serait aisé de démontrer

À PLUSIEURS VARIABLES. L 23

de même que nous l’avons fait précédemment relative ment aux différentielles exactes affectées de logarithmes variables, qu'on pourrait aussi se servir de notre mé- thode d'intégration partielle, pour intégrer les fonc- tions différentielles exactes renfermant des arcs de cercle variables , c'est-à-dire ayant pour lignes trigo- nométriques des fonétitol variables de x, y, 2:... Mais à cause qu’un peu de réflexion de la part de nos lecteurs, suppléera aisément aux démonstrations que nous donnerions , et qui exigeraient un trop grand échafaudage de formules et de calculs, et que d’ailleurs des quantités transcendantes par les arcs de cercle, on peut revenir à celles transcendantes par les logarithfhes [ équat. (186)...(191)], nous passerons oùtre.

329. REMARQUE II. "ae l'intégrale Lilas Fe ui nes 0" s

de la différentielle exacté dU qu'on veut intégrer , ily a quelqu'une des quantités transcendantes élevée à la première puissance , et non multipliée pat une fonc- tion algébrique ou même transcendante ; alors la difFé- rentiation ne laissant plus aucune trace de ces quantités transcendantes , la différentielle U ne se présente plus que sous une forme purement algébrique , et par con- séquent, il sera extrèmement long et difficile, même pour le calculateur le plus exercé , de réduire la pro- posée dU sous une forme qui mette en évidence les différentielles des quantités transcendantes. Par exemple, ce ne pourra être que par tâtonnement et aprés un grand nombre de tentatives, qu'on parviendra à mettre la fonc- tion différentielle ?

Vrdr +4x Vaxdr+h4rv Vady-127 dy —2v UT an 2 Vrdrx 2y°?x VaHôx’ Yart2y 3x8 x

24 INTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS sous la forme

dx dx 2V/xdx NP ES 2 NEA VxTY a

ÿ

à

qui est favorable à l'intégration, et d’où l’on conclut, sans peine que l'intégrale de la proposée est

ICVxz—7y)— arc (rang 0 + const.

CHAPITRE II.

Des équations différentielles du premier ordre & plusieurs variables , et examen des formes qu’elles doivent avoir après la differentiation immédiate des équations primitives, dans lesquelles on a isolé la constante qui doté étre éliminee.

330. Ur équation différentielle qu'on veut inté- grer , et dans laquelle tons les termes sont réunis dans un seul membre, se présente presque toujours sous la forme d’un Bobo différentiel égalé à zéro, dont les termes sont privés de dénominateurs, et n’ont pas cle facteurs communs ; car s’il y avait eu des dénomi- uateurs dans quelques termes , ils auraient disparu par la multiplication de l'équation par le produit de ces dénominateurs, et s’il y avait eu un facteur comipun,

+ eu A PLUSIEURS VARIABLFS. 25

il aurait disparu par la division de l'équation par ce facteur commun.

Or, l'équation primitive de l'équation différentielle proposée, peut avoir , 1°. la constante qui a disparu dans la différentiation, combinée avec les termes va- riables par simple voie d'addition ou de soustraction, et alors elle a pu être isolée dans un seul membre de l'équation primitive sans donner de dénominateur au polynome variable. 2°. Cette même constante pent être combinée dans l'équation primitive par voie de multi- plication avec des termes variables, et alors elle n a pu être isolée dans un seul membre qu’en donnant un dé-. nominateur variable à l’autre membre.

D"

331. Considérant d’abord les équations primitives la constante éliminée ne se combine que par voie d’ad- dition ou de soustraction avec les termes variables ; J observe , 1°. que si dans une pareïlle équation tous les termes variables sont algébriques , et si les exposans des variables sont des nombres positifs entiers ou fraction- naires, mais > 1; enfin, s’il n'y a pas de facteur va- riable commun à tous les termes du polynome variable, ou du moins si ce facteur n'est élevé qu’à la première puissance dans l’un des termes; alors la différentielle de cette équation sera la différentielle exacte du po- lynome variable de l'équation primitive, ce qu'on pourra reconnaître à priori par kes méthodes enseignées à l’article 54; ainsi l'intégration de l’équation différen-- tielle proposée s’obtiendra dans ce cas-là , comme celle des fonctions différentielles exactes que nous ayons appris à intégrer dans le chapitre précédent.

332. 9°. Si tont restant dans l'équation primitive gomme dans le cas que nous venons d'examiner , avec

ré.

26 TNTÉGRATION DES FONCT. ET ÉQUATIONS ;

cette seule différence que nous supposerons ici que quelqu'un des exposans des variables est positif, frac- tionnaire et <Z 1, alors la différentiation par rapport à ces variables, rejetant dans des dénominateurs ces mêmes variables avec des exposans fractionnaires , et ces dénominateurs ayant disparu dans l'équation diffé- rentielle proposée , celle-ci ne sera plus la différen- tielle exacte du polynome variable de l'équation pri- mitive. Mais il est assez aisé dans ce cas-là , de rame- ner la proposée à la forme convenable qui rend son polynome différentiel , la différentielle exacte du poly- nome variable de l'équation primitive.

833. 3°. Si tous les termes du polynome variable de l'équation primitive sont multipliés par un facteur variable dont l’exposant est > 1, alors il est évident qu'après la différentiation , il restera encore un facteur variable commun à tous les termes de la différentielle qui a disparu dans l'équation proposée ; ainsi il faudra ré- tablir ce facteur pour pouvoir effectuer l'intégration.

334. 4°. Si enfin il y a dans l'équation primitive des termes variables transcendans, et si ces quantités trans- cendantes sont isolées, c’est-à-dire, non affectées de facteurs variables algébriques ou transcendans ; alors la différentiation d’une pareille équation ne donne que des termes différentiels algébriques. Mais ceux de ces termes provenant de la différentiation des quantités transcen- dantes, sont affectés de dénominateurs variables qui ont disparu dans l’équation différentielle proposée ; ainsi cette dernière , sous la forme elle se présente, n'est pas la différentielle exacte de la proposée.

335. Considérons enfin l'équation primitive lorsque Ja constante qui doit être éliminée dans l'équation différentiellé proposée , est engagée avec des termes

À PLUSIEURS VARIABLES. 27

variables par voie de multiplication ; et pour fixer les idées , représentons une telle équation par celle

NT F(x,y...)+f(x,y...)—0.i..(a),

dans laquelle la lettre c représente la constante qui ne se trouve plus dans la différentielle proposée. Diffc- rentiant l'équation (a), on a

dE (x, y) + cdf(x,y)—=0... 6); éliminant c entre les équations (a) et (b), il vient F (x; y) df (x , y) f(x, y)dF (x, y)—=0...(c) à

L 0 le premier membre n'est pas la différentielle de

équation primitive après l'isolement de la constante c, mais seulement le numérateur de la ren ele exacte. En effet, isolant c dans l'équation (a), 1l vient celle

qui étant différentiée donne

Tf C,y)F

On voit donc qu'il manque au premier membre de l'équation (c) , pour être la différentielle exacte de j'équation (a) mise sous la forme (d) afin d'éliminer la constante c , le dénominateur [ f (x,y)]* (*).

336. Il résulte de cet examen des différentes formes

que doivent avoir les équations différentielles , d'après - celles des équations primitives, qu'excepté le premier

(*) Tonte cette théorie est conforme à ce que nous avons dit à Particle 29.

28 - INTÉGRATION DES FONCT. ET EQUATIONS

cas traité à l’article 331, il faut dans tous les autres cas,

user de certains artifices pour ramener l'équation difFe-

rentielle proposée à une forme convenable à l'intégra-

tion qui doit reproduire l'équation primitive. Nous ailons finir ce chapitre par donner un exemple pour

chacun des deux premiers cas ( art. 331 et 352), et

nous traiterons les autres cas dans le chapitre suivant, en n’y considérant d’abord que les équations différen-

tielles entre deux variables.

EXEMPLE I. fntégrer l'équation (3yV/x+2y°) dx + (2V/x° + 6xy° ) dy —0...(a).

Nous servant de l'équation de condition (52)[art. 54] pour déterminer si le premier membre de la proposée est une différentielle exacte, nous avons

d'(ByVx+o2y) NC (2 a+ 6xy°)

L'exactitude de la proposée étant prouvée, nous aurons, en nous conformant à la règle RG à l'ar- ticle 208 | l'équation

fa) = fFay*dx + fray/xdy —y°x + yVx—= const, dans laquelle la constante arbitraire comprend le divi-

seur constant 2 après la division de toute l’équation par le facteur commun 2 du premier membre.

EXEMPLE Il. Jntégrer l'équation 10ax? ÿ/z! V'udy + 20axy{/u /z'dx 5bzdu obudz —0......(b).

Il est aisé d'observer que les deux premiers termes cle la proposée renferment les quatre variables, et rien que les différentielles de deux de ces variables, tandia

A PLUSIEURS VARIABLES. 24 que les deux derniers termes renferment les diférenz tielles des deux autres variables, et seulement deux des quatre variables : il n'y a donc d’autre moyen de ra- mener la proposée à la forme convenable aux intésra- tions des fonctions différentielles exactes, que de déli- vrer les deux premiers termes des deux variables qui sy trouvent sans leurs différentielles;